1) Cas d'une croix dont les branches sont parallèles aux méridiens principaux
La vision de l'œil nu est floue mais non déformée, la grandeur de l'extériorisation est égale à celle de l'objet.
1-1) Œil compensé par verre de lunette
Important pour les exercices
Un schéma comparatif des images rétiniennes des branches dans les deux méridiens principaux est exigé dans toute question où on demande de comparer des grandeurs d'images rétiniennes.
a) Cas d'un œil astigmate myopique composé
dans les deux méridiens principaux
Méridien a
Méridien a + 90
b) Cas d'un œil astigmate hypéropique composé
Méridien a
Méridien a + 90
Expressions à démontrer dans les exercices
D'après la relation de Lagrange-Helmoltz appliquée aux plans principaux de l'œil : uH = 1,336 u',
la grandeur de l'image rétinienne d'une branche est donnée par l'expression :
Méridien a
Méridien a+90
d'où le rapport des grandeurs des images rétiniennes est égal au rapport des grandeurs des extériorisations,
pour LH = 15 mm
L'écart relatif des images rétiniennes des deux branches est de 1,5 % par dioptrie de cylindre. C'est la branche d'orientation a qui est la plus grande.
1-2) Œil compensé par lentille cornéenne
La distance verre-œil est négligeable (SH = 2 mm), et on peut admettre que les grandeurs des images rétiniennes des deux branches de la croix sont égales y'a ~ y'a+90. Il en est de même pour les grandeurs des extériorisations de ces deux branches qui sont égales à la grandeur de l'objet ye(a) ~ ye (a+90) ~ yL
Exercices d'application
Exercice 1
On considère un œil parfaitement compensé par le verre de lunette de formule - 2,00(-2,00)0 supposé mince et dont la face arrière L est à 15 mm de H.
1) L'œil compensé observe un segment yL situé dans son parcours apparent d'accommodation à 40 cm de L, comparer la grandeur de l'image rétinienne de yL à celle d'un œil emmétrope de même longueur regardant le même objet (MLH = 41,5 cm). On supposera le segment objet successivement orienté à 0° puis à 90°.
L'œil étudié présente un astigmatisme myopique composé direct.
Dans chacun des deux méridiens principaux :
Pour un objet réel ML situé à 40 cm de L :
.
Schémas comparatifs
Méridien 0°
Méridien 90°
D'après la relation de Lagrange-Helmoltz appliquée aux plans principaux de l'œil : uH = 1,336 u'.
Segment horizontal : la grandeur de l'image rétinienne du segment yL est donnée par :
Segment vertical : la grandeur de l'image rétinienne du segment yL est donnée par :
avec .
Grandeur de l'image rétinienne de l'œil emmétrope de même longueur regardant le même objet :
avec
d'où : y'0/y'em = 0,9367´415/400 = 0,972 = 1- 2,8%
y'90/y'em = 0,9112´415/400 = 0,945 = 1- 5,5%.
Cet œil astigmate voit plus petit du fait de la distance verre-œil et du verre compensateur divergent. Le verre est plus concave dans le méridien 90°, la diminution de l'image est plus importante dans ce méridien.
Remarque : si l'objet est éloigné on peut écrire que et , par ailleurs l'image intermédiaire M est en R.
Les rapports calculés pour un objet à 40cm deviennent : y'0/y'em = 500/515= 0,9709 = 1- 2,9% et
y'90/y'em = 250/265 = 0,9434 = 1- 5,7%.
Le rapport de la grandeur de l'image rétinienne d'un œil amétrope compensé à celle d'un œil emmétrope de même longueur varie peu en fonction de la position de l'objet, il dépend essentiellement de la compensation de l'œil amétrope et de la distance LH.
2) Si l'objet est une croix centrée sur l'axe optique à branches égales orientées à 0° et 90°, comparer les grandeurs des images rétiniennes des deux branches.
L'angle uL est le même dans les deux méridiens principaux car les deux branches de la croix objet sont égales. D'après les schémas et calculs du 1) on observe que y'0 > y'90 :
le rapport y'0/y'90 = 0,9367/0,9112 = 1,028.
En moyenne, l'écart est de 1,5 % par dioptrie de cylindre, or le cylindre est de 2d. La valeur estimée de l'écart serait de 3%, contre 2,8% au résultat du calcul.
Remarque : si la croix objet est éloignée, le rapport précédent garde sensiblement la même valeur que pour un objet rapproché : y'0/y'90 = 0,9709/0,9434= 1,029.
Pour un œil astigmate compensé, le rapport des grandeurs des images rétiniennes, des branches d'une croix parallèles aux méridiens principaux, varie peu en fonction de la position de l'objet, il dépend essentiellement des compensations et de la distance LH.
Exercice 2
On considère un œil parfaitement compensé en VL par +4,00(-2,00)150, le verre de lunette L est supposé mince et situé à 15 mm de H. L'œil compensé observe une croix éloignée dont les branches sont égales et parallèles aux méridiens principaux.
Calculer la grandeur des extériorisations géométriques des deux branches ainsi que leur rapport, sachant qu'elle est placée à 5 m et que les branches mesurent 50 cm.
Schémas comparatifs justificatifs
Méridien 150°
Méridien 60°
L'extériorisation de la branche la plus horizontale (150°) mesure 53 cm (grossissement de 6%) et celle de la branche la plus verticale (60°) mesure 51,5 cm (grossissement de 3%).
Rapport des grandeurs des extériorisations des deux branches de la croix : .
2) Cas d'une croix oblique par rapport aux méridiens principaux lorsque l'œil astigmate est compensé par un verre de lunette
On considère une croix objet dont les branches égales sont perpendiculaires, mais orientées suivant des directions obliques par rapport aux méridiens principaux a et a +90.
2-1) Schéma de l'extériorisation de la croix
Ce schéma représentant ce que voit le sujet dans le plan objet est indispensable
On rappelle que sur le plan objet tel qu'il est vu par l'observateur le 0 degré est à gauche.
Prenons l'exemple d'un verre compensant un astigmatisme hypéropique composé. L'image rétinienne est grossie suivant les deux méridiens principaux du fait de la distance verre-œil. Mais ce grossissement induit est plus important dans le méridien principal qui contient l'axe du cylindre négatif compensateur.
La différence des grossissements induits est de 1,5 % par dioptrie de cylindre entre les deux méridiens principaux pour LH = 15 mm. Il en résulte une déformation de l'extériorisation d'un objet pour l'œil astigmate compensé par verre de lunette : cette déformation est encore appelée anamorphose.
Tous les points de la croix objet, sauf ML le point objet situé sur l'axe, sont en dehors des méridiens principaux.
2-2) Calcul de l'angle de déclinaison des branches de la croix
Démonstration à connaître
- Soit qV l'angle de la branche verticale MLAL avec l'axe a du cylindre négatif compensateur dans le plan objet, on a . Les points JL et KL sont les projections sur les méridiens principaux, de l'extrémité AL d'une des branches de la croix.
- Soit MLAe la grandeur de l'extériorisation de la branche MLAL dans le plan objet et soit qeV . Les points Je et Ke sont les projections sur les méridiens principaux, du point Ae cherché.
L'angle qeV que fait MLAe avec l'orientation de l'axe a du cylindre négatif est donné par : .
Pour justifier cette expression le schéma illustrant la relation entre ye et yL dans un méridien principal est indispensable. Ce schéma doit correspondre au signe de la compensation.
dans chacun des deux méridiens principaux.
Méridien a
On a une relation analogue dans le méridien a+90 (le second schéma n'est pas nécessaire ici)
Par un calcul analogue on obtient pour l'extériorisation de la branche horizontale MLBL
avec qH = 90° - qV
Remarques à retenir pour les exercices
ü Lorsque l'objet est éloigné, M est en R dans chacun des deux méridiens principaux :
Approximation si LH = 15 mm : < tanq car C est une grandeur positive.
ü Les deux branches de la croix tournent en sens inverse du même angle, vers l'axe - du cylindre compensateur. Cet angle augmente avec q, il est maximum et vaut environ 20' par dioptrie de cylindre pour q proche de 30 ou 60° et atteint la valeur maximum de 25' par dioptrie pour q proche de 45°.
2-3) Calcul des grandeurs des extériorisations des deux branches
Pour la branche verticale MLAL
avec et .
Les mêmes calculs peuvent être effectués pour la branche horizontale MLBL, mais l'angle qH de cette dernière avec l'axe du cylindre négatif compensateur est 90°- qV.
Exercice d'application
On considère un œil parfaitement compensé par le verre de lunette +4,00(-2,00)150 supposé mince et situé à 15 mm de H.
1) Cet œil observe une croix éloignée dont les branches sont orientées à 0° et 90°. Comment sera-t-elle extériorisée par l'œil compensé par son verre de lunette ?
dans chacun des deux méridiens principaux
Faire le schéma du 2-1) et la démonstration du 2-2) donnant l'expression de tanq'.
Calcul de l'angle de déclinaison des extériorisations des deux branches delacroix
Branche verticale :
MLAL = 25 cm, l'angle qV que fait cette branche avec le méridien de l'axe - est de 60°, on en déduit tanqeV = (500/485)(235/250)(tan60) = 1,6785 d'où qeV = 59,21°.
L'angle de déclinaison eV de la branche verticale est de 0,79° soit 47,4'.
Branche horizontale :
MLBL = 25 cm, l'angle qH que fait cette branche avec le méridien de l'axe - est de 30°, on en déduit tanqeH = (500/485)(235/250)(tan30) = 0,5505 d'où qeH = 29,23°.
L'angle de déclinaison eH de la branche horizontale est de 0,77° soit 46,2'.
Les deux branches tournent de 47' environ vers le méridien 150°, rotation S.A.M. pour la verticale et S.I.A.M. pour l'horizontale. On remarque que la déclinaison est de 23,5' par dioptrie de cylindre les branches de la croix étant à 30° des méridiens principaux.
Longueur des extériorisations des deux branches de la croix
Branche verticale :
avec et .
d'où MLAe = 25,45cm soit 50,9 cm pour la branche verticale.
Branche horizontale:
avec et .
d'où MLBe = 26,4 cm soit 52,8 cm pour la branche horizontale.
Les deux branches sont vues plus grandes que la croix objet car le verre est convexe. La branche vue la plus grande est celle qui est la plus proche du méridien contenant l'axe -.
2) Comment cet œil compensé par son verre de lunette va-t-il extérioriser un cercle objet de diamètre 50 cm situé dans un plan de front à 5m. ?
Schéma de l'extériorisation
dans chacun des deux méridiens principaux.
Méridien 150°
Méridien 60°
Le plan objet OL est à 5 m donc éloigné et l'image intermédiaire O est supposée au remotum dans chacun des deux méridiens principaux. L'extériorisation du cercle est une ellipse de grand axe 150° plus grande que le cercle objet.
Grand axe :
Petit axe :
Si le verre de lunette est mince, le grossissement est de 6,4% suivant le méridien 150° et de 3,1% suivant le méridien 60°. La déformation induite par le cylindre est de 6,4% - 3,1% = 3,3 %.
Remarque : l'estimation du grossissement induit par le verre dans un méridien principal pour LH = 15 mm donne des grossissements assez proches des valeurs calculées :
Méridien 150° : ye/yL »1+0,015DL150 = 1,06 et méridien 60° : ye/yL »1+0,015DL60 = 1,03.
Sujet: Cours images rétiniennes 
Mar 25 Mar - 16:58
